高等数学试题

[B]一、单项选择题(每小题1分，共30分)[/B][BR][BR]1、函数f(x)=的定义域是[BR][BR]　　A、[－1，1]　B、(－2，2)[BR][BR]　　C、(－∞，－1)∪(1，＋∞)[BR][BR]　　D、(－∞，＋∞)[BR][BR]2、下列函数中既是有界函数又是偶函数的是[BR][BR]A、xarcsinx　B、arctgx[BR][BR]C、x2＋1　D、sinx＋cosx[BR][BR]3、函数y=ex－1的反函数是[BR][BR]A、y=lnx＋1　B、y=ln(x－1)[BR][BR]C、y=lnx－1　D、y=ln(x＋1)[BR][BR]4、xsin=[BR][BR]A、∞　B、0　C、1　D、不存在[BR][BR]5、某商品的需要量Q是价格P的函数Q=a－bP(a>0，b>0)，则需求量Q对价格P的弹性是[BR][BR]　　A、b　B、[BR][BR]　　C、　D、[BR][BR]6、曲线在t=0处的切线方程是[BR][BR]　　A、[BR][BR]　　B、[BR][BR]　　C、y－1=2(x－2)[BR][BR]　　D、y－1=－2(x－2)[BR][BR]7、函数y=|sinx|在x=0处是[BR][BR]A、无定义　B、有定义，但不连续[BR][BR]C、连续，但不可导　D、连续且可导[BR][BR]8、设y=lnx，则y″=[BR][BR]　　A、　B、[BR][BR]　　C、　D、[BR][BR]9、设f(x)=arctgex，则df(x)=[BR][BR]　　A、　B、[BR][BR]　　C、　D、[BR][BR]10、=[BR][BR]A、－1　B、0　C、1　D、∞[BR][BR]11、函数y=ax2＋c在区间(0，＋∞)内单调增加，则a，c应满足[BR][BR]A、a<0，c=0　B、a>0，c任意[BR][BR]C、a<0，c≠0　D、a<0，c任意[BR][BR]12、若ln|x|是函数f(x)的原函数，a≠0,那么下列函数中，f(x)的原函数是[BR][BR]A、ln|ax|　B、[BR][BR]C、ln|x＋a|　D、[BR][BR]13、设a≠0，则∫(ax＋b)100dx=[BR][BR]　　A、[BR][BR]　　B、　[BR][BR]　　C、[BR][BR]　　D、100a(ax＋b)99[BR][BR]14、∫xsinxdx=[BR][BR]　　A、xcosx－sinx＋c[BR][BR]　　B、xcosx＋sinx＋c[BR][BR]　　C、－xcosx＋sinx＋c[BR][BR]　　D、－xcosx－sinx＋c[BR][BR]15、函数f(x)=x2在[0，2]区间上的平均值是[BR][BR]A、　B、1　C、2　D、[BR][BR]16、=[BR][BR]　　A、＋∞　B、0　C、　D、1[BR][BR]17、下列广义积分中收敛的是[BR][BR]　　A、　B、[BR][BR]　　C、　D、[BR][BR]18、方程x2＋y2＋z2＋2x－4y=1表示的空间图形为[BR][BR]　　A、平面　B、直线[BR][BR]　　C、柱面　D、球面[BR][BR]19、函数z=arcsin(x2＋y2)的定义域为[BR][BR]　　A、x2＋y2<1　B、x2＋y2≤1[BR][BR]　　C、x2＋y2≥1[BR][BR]　　D、|x|≤1，|y|≤1[BR][BR]20、极限=[BR][BR]A、1　B、2　C、0　D、∞[BR][BR]21、函数f(x，y)=[BR][BR]在原点[BR][BR]　　A、连续　B、间断[BR][BR]　　C、取极小值　D、取极大值[BR][BR]22、已知f(x，y)的两个偏导数存在，且f′x(x，y)>0，f′y(x，y)<0，则[BR][BR]A、当y不变时，f(x，y)随x的增加而增加[BR][BR]B、当y不变时，f(x，y)随x的增加而减少[BR][BR]C、当x不变时，f(x，y)随y的增加而增加[BR][BR]D、上述论断均不正确[BR][BR]23、设z=exsiny，则dz=[BR][BR]A、ex(sinydx＋cosydy)　B、exsinydx[BR][BR]C、excosydy　D、excosy(dx＋dy)[BR][BR]24、已知几何级数收敛，则[BR][BR]　　A、|q|≤1，其和为[BR][BR]　　B、|q|<1，其和为[BR][BR]　　C、|q|<1，其和为[BR][BR]　　D、|q|<1，其和为aq[BR][BR]25、是级数收敛的[BR][BR]A、必要条件　B、充分条件[BR][BR]C、充分必要条件　D、无关条件[BR][BR]26、下列级数中绝对收敛的是[BR][BR]A、　B、[BR][BR]C、　D、[BR][BR]27、幂级数的收敛半径为[BR][BR]A、1　B、　C、2　D、0[BR][BR]28、微分方程y3＋(y′)6＋xy3＋x4y2=1的阶数是[BR][BR]A、1　B、2　C、3　D、6[BR][BR]29、微分方程的通解为[BR][BR]A、y=±1　B、y=sinx＋c[BR][BR]C、y=cos(x＋c)　D、y=sin(x＋c)[BR][BR]30、微分方程满足初始条件y(0)=0的特解为[BR][BR]A、y=cosx－1　B、y=cosx[BR][BR]c、y=sinx　D、y=－cosx＋1[BR][BR][B]二、填空题(每空2分，共20分)[/B][BR][BR]1、a，b为常数，要使[BR][BR]，则b=　(1)　。[BR][BR]2、设由y=sin(x＋y)确定隐函数y=y(x)，则dy=　(2)　。[BR][BR]3、设当x→0时与ax是等价无穷小，则常数a=　(3)　。[BR][BR]　　4、=　(4)　。[BR][BR]5、=　(5)　。[BR][BR]6、设f(x,y)=，则f′x(1，2)=　(6)　。[BR][BR]7、交换积分顺序[BR][BR]=　(7)　。[BR][BR]8、函数e－2x的麦克劳林级数中xn的系数为　(8)　。[BR][BR]9、微分方程y″－2y′＋5y=0的通解为　(9)　。[BR][BR]10、函数y=lnx在区间[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的ξ=　(10)　。[BR][BR][B]三、解答题(每小题5分，共30分)[/B][BR][BR]1、求.[BR][BR]2、设y=cos2e－3x,求y′.[BR][BR]3、求∫x2e－xdx.[BR][BR]4、求到两点A(1，0，－1)，B(3，－2，1)距离相等的点的轨迹，并指出该轨迹的名称.[BR][BR]5、判断下列级数的敛散性：[BR][BR](1)；(2).[BR][BR]6、求微分方程满足初始条件y(0)=0的特解.[BR][BR][B]四、(本题8分)[/B][BR][BR]设平面图形由曲线xy=1与直线y=2，x=3围成，求[BR][BR](1)平面图形的面积S[BR][BR](2)此平面图形绕X轴旋转所成的旋转体体积V[BR][BR][B]五、(本题8分)[/B][BR][BR]某工厂生产甲、乙两种产品，单位售价分别为40元和60元，若生产X单位甲产品，生产y单位乙产品的总费用为20x＋30y＋0.1(2x2－2xy＋3y2)＋100，试求出甲、乙两种各生产多少时取得最大利润。[BR][BR][B]六、(本题4分)[/B][BR][BR]求证方程x－sinx－1=0在区间~,[,2]内有唯一零点。[BR][BR]　[BR][BR][B]参考答案[/B][BR][BR][B]一、选择题(本题共30分)[/B][BR][BR]1.B　2.A　3.D　4.C　5.C[BR][BR]6.A　7.C　8.D　9.B　10.A[BR][BR]11.B　12.A　13.C　14.C　15.A[BR][BR]16.D　17.C　18.D　19.B　20.B[BR][BR]21.B　22.A　23.A　24.C　25.A[BR][BR]26.D　27.B　28.C　29.D　30.D[BR][BR][B]二、填空题(每小题2分，共20分)[/B][BR][BR]1、1[BR][BR]2、[BR][BR]3、[BR][BR]4、e4－1[BR][BR]5、arctgx＋ln(1＋x2)＋c[BR][BR]6、[BR][BR]7、[BR][BR]8、[BR][BR]9、ex(C1cos2x＋C2sin2x)[BR][BR]10、e－1[BR][BR][B]三、(每小题5分，共20分)[/B][BR][BR]1、解　原式=[BR][BR]　(3分)[BR][BR]=1(2分)[BR][BR]2、解　y′=2cose－3x·(cose－3x)′[BR][BR](2分)[BR][BR]=2cose－3x(－sine－3x)·(e－3x)′[BR][BR](2分)[BR][BR]=3sin(2e－3x)·e－3x(1分)[BR][BR]3、解　原式=－∫x2de－x[BR][BR]　　=－x2e－x＋2∫xe－xdx(2分)[BR][BR]=－x2e－x－2xe－x＋2∫e－xdx[BR][BR]=－x2e－x－2xe－x－2e－x＋c(2分)[BR][BR]=－(x2＋2x＋2)e－x＋c(1分)[BR][BR]4、解　设点(x,y,z)到A，B距离相等，则[BR][BR]　　[BR][BR](2分)[BR][BR]两边平方　并化简得[BR][BR]　　2x－2y＋2z－6=0(2分)[BR][BR]该轨迹称为平面(1分)[BR][BR]5、解：(1)∵[BR][BR]而等比级数收敛，[BR][BR]　　∴原级数收敛(3分)[BR][BR](2)∵=1≠0，[BR][BR]∴原级数发散。(2分)[BR][BR]6、解 原方程可化为，[BR][BR]即(1分)[BR][BR]积分得(2分)[BR][BR]以x=0,y=0代入上式，[BR][BR]　　求得c=0。(1分)[BR][BR]∴所求特解为y=－1(1分)[BR][BR](注：也可用一阶线性方程求解)[BR][BR][B]四、(本题8分)[/B][BR][BR]解：(1)S=(3分)[BR][BR]=5－=5－ln6(1分)[BR][BR](2)V=(3分)[BR][BR]=(1分)[BR][BR][B]五、(本题8分)[/B][BR][BR]解：总收入为40x＋60y，总利润为[BR][BR]z=40x＋60y－(20x＋30y＋0.1(2x2－2xy＋3y2)＋100)=20x＋30y－0.2x2＋0.2xy－0.3y2－100(2分)[BR][BR]令(2分)[BR][BR]解得　x=90,y=80(2分)[BR][BR]而=－0.4,=0.2,[BR][BR]　　=－0.6[BR][BR]△=0.22－(－0.4)·(－0.6)<0，　　而=－0.4<0[BR][BR]∴x=90,　y=80为极大值点[BR][BR]因极值点唯一，故它就是最大值点。(2分)[BR][BR]答：当甲产品生产90单位，乙产品生产80单位时利润最大。[BR][BR][B]六、(本题4分)[/B][BR][BR]证：设f(x)=x－sinx－1，[BR][BR]　　在≤x≤2上连续，[BR][BR]∵f()=－2<0,[BR][BR]　　f(2)=1－sin2>0，[BR][BR]∴f(x)在[,2]内有零点。(2分)[BR][BR]又f′(x)=1－cosx>0(<x<2)[BR][BR]∴f(x)严格单调上升，∴f(x)只有唯一的零点。(2分) [/FONT][/TD][/TR][/TBODY][/TABLE]